স্বতন্ত্র ইজেনভ্যালুর সাথে সংশ্লিষ্ট ইজেনভেক্টররা রৈখিকভাবে স্বাধীন। ফলস্বরূপ, যদি একটি ম্যাট্রিক্সের সমস্ত eigenvalue আলাদা হয়, তাহলে তাদের সংশ্লিষ্ট eigenvectors কলাম ভেক্টরের স্থানকে বিস্তৃত করে যেখানে ম্যাট্রিক্সের কলামগুলি অন্তর্ভুক্ত।
আপনি কিভাবে জানবেন যে ইজেনভেক্টররা রৈখিকভাবে স্বাধীন কিনা?
স্বতন্ত্র ইজেনভ্যালুর সাথে সংশ্লিষ্ট ইজেনভেক্টররা রৈখিকভাবে স্বাধীন। … যদি বারবার eigenvalues থাকে, কিন্তু সেগুলি ত্রুটিপূর্ণ না হয় (অর্থাৎ, তাদের বীজগণিতের গুণিতকতা তাদের জ্যামিতিক গুণের সমান), একই স্প্যানিং ফলাফল ধারণ করে।
ইজেনভেক্টর কি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হতে পারে?
যদি A হল একটি N × N কমপ্লেক্স ম্যাট্রিক্স যার N স্বতন্ত্র ইজেনভ্যালু আছে, তাহলে N এর অনুরূপ ইজেনভেক্টরের যে কোনো সেট CN-এর ভিত্তি তৈরি করে।প্রমাণ। এটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যে ইজেনভেক্টরের সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন … যেহেতু প্রতিটি Vj=0, {Vj}-এর যেকোনো নির্ভরশীল উপসেটে কমপক্ষে দুটি ইজেনভেক্টর থাকতে হবে।
একই eigenvalue এর সকল eigenvector কি রৈখিকভাবে স্বাধীন?
স্বতন্ত্র ইজেনভ্যালুর সাথে সংশ্লিষ্ট ইজেনভেক্টর সবসময় রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে আমরা সর্বদা একটি n × n ম্যাট্রিক্সকে n স্বতন্ত্র ইজেনভ্যালু সহ তির্যক করতে পারি কারণ এটি n রৈখিকভাবে স্বাধীন ইজেনভেক্টরের অধিকারী হবে।
যখন eigen মান রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়?
যদি A-এর eigenvalues আলাদা হয়, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে eigenvectors রৈখিকভাবে স্বাধীন; কিন্তু, যদি কোনো ইজেন ভ্যালুর পুনরাবৃত্তি হয়, তাহলে আরও তদন্তের প্রয়োজন হতে পারে। যেখানে β এবং γ একই সময়ে শূন্যের সমান নয়৷
