কবে একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ চক্রাকার হয়?

2025 লেখক: Fiona Howard | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2025-01-22 18:24

অনুষ্ঠানিকভাবে, একটি গ্রুপ চক্রাকার হয় যদি এটি একটি একক উপাদান দ্বারা তৈরি হয়। গুন যাত্রা করলে এটি আবেলিয়ান হয়। একটি গোষ্ঠী চক্রীয় হয় যদি এটি একটি একক উপাদান দ্বারা তৈরি করা যায়৷

আবেলিয়ান গ্রুপ কি চক্রাকার?

সমস্ত চক্রাকার গোষ্ঠীই অ্যাবেলিয়ান, কিন্তু একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠী অগত্যা চক্রীয় নয়। অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠীর সমস্ত উপগোষ্ঠী স্বাভাবিক। একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠীতে, প্রতিটি উপাদান নিজেই একটি কনজুগেসি ক্লাসে থাকে এবং অক্ষর সারণীতে একটি একক উপাদানের ক্ষমতা জড়িত থাকে যা একটি গ্রুপ জেনারেটর হিসাবে পরিচিত৷

আপনি কীভাবে প্রমাণ করবেন একটি আবেলিয়ান দল চক্রাকার?

প্রমাণ।

1. G কে একটি জেনারেটর g∈G সহ একটি চক্রাকার গ্রুপ হতে দিন। যথা, আমাদের আছে G=⟨g⟩ (G-এর প্রতিটি উপাদানই g এর কিছু শক্তি।)
2. ধরুন a এবং bকে G-তে স্বেচ্ছাচারী উপাদান হতে দিন। তারপর n, m∈Z যেমন a=gn এবং b=gm বিদ্যমান।
3. অতএব আমরা নির্বিচারে a, b∈G এর জন্য ab=ba পাই। এইভাবে G হল একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠী৷

আপনি কিভাবে বুঝবেন যে একটি গ্রুপ চক্রাকারে হয়?

4 উত্তর। একটি সীমিত গোষ্ঠী চক্রাকার হয় যদি, এবং শুধুমাত্র যদি, এটির ক্রমএর প্রতিটি ভাজকের অবিকল একটি উপগোষ্ঠী থাকে। সুতরাং আপনি যদি একই ক্রম দুটি উপগোষ্ঠী খুঁজে পান, তাহলে গ্রুপটি চক্রাকার নয় এবং এটি কখনও কখনও সাহায্য করতে পারে৷

চক্রীয় গোষ্ঠী কি একটি উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করুন?

উদাহরণস্বরূপ, (Z/6Z)^×={1, 5} , এবং যেহেতু 6 দ্বিগুণ বিজোড় প্রাইম এটি একটি চক্রীয় গ্রুপ। … যখন (Z/nZ)^× চক্রাকার হয়, তখন এর জেনারেটরকে আদিম মূল মডুলো n বলা হয়। একটি মৌলিক সংখ্যা p-এর জন্য, গ্রুপটি (Z/pZ)^{× সর্বদা চক্রাকারে থাকে, যাতে পি-এর সসীম ক্ষেত্রের অ-শূন্য উপাদান থাকে।}