যদি A একটি m × n ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে ATA এবং AAT-এর একই অশূন্য ইজেনভ্যালু আছে … তাই Ax হল eigenvalue λ এর সাথে সম্পর্কিত AAT-এর একটি eigenvector। একটি সাদৃশ্যপূর্ণ যুক্তি দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যে AAT-এর প্রতিটি অশূন্য ইজেনভ্যালু ATA-এর একটি eigenvalue, এইভাবে প্রমাণটি সম্পূর্ণ করে৷
AAT এবং ATA এর eigenvalue কি একই?
AAT এবং ATA ম্যাট্রিক্সের একই অশূন্য ইজেন ভ্যালু। অধ্যায় 6.5 দেখায় যে এই প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের ইজেনভেক্টরগুলি অর্থোগোনাল৷
ATA কি AAT এর মতো?
যেহেতু AAT এবং ATA বাস্তব প্রতিসম, সেগুলিকে অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স দিয়ে তির্যক করা যেতে পারে। এটি পূর্ববর্তী বিবৃতি থেকে অনুসরণ করে (যেহেতু জ্যামিতিক এবং বীজগণিতের গুণাবলী মিলে যায়) যে AAT এবং ATA একই eigenvalues.
ATA-এর কি আলাদা ইজেন ভ্যালু আছে?
সত্য। উদাহরণ স্বরূপ, যদি A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , তাহলে বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 এর কোনো পুনরাবৃত্ত মূল নেই। তাই A-এর সমস্ত eigenvalues আলাদা এবং A তির্যক। 3.35 যেকোন বাস্তব ম্যাট্রিক্স A এর জন্য, AtA সর্বদা তির্যক হয়।
বিভিন্ন ইজেনভেক্টরের কি একই ইগেনভ্যালু থাকতে পারে?
একই Eigenvalue-এর সাথে সংশ্লিষ্ট দুটি স্বতন্ত্র আইজেনভেক্টর সবসময় রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। একই Eigenvalue এর সাথে সম্পর্কিত দুটি স্বতন্ত্র Eigenvector সর্বদা রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
