উদাহরণ: গাউসিয়ান পূর্ণসংখ্যার রিং Z একটি সীমাবদ্ধভাবে জেনারেট করা Z-মডিউল, এবং Z হল নোথেরিয়ান। পূর্ববর্তী উপপাদ্য অনুসারে, Z একটি নোথেরিয়ান বলয়। উপপাদ্য: নোথেরিয়ান রিংয়ের ভগ্নাংশের রিংগুলি নোথেরিয়ান।
Z X কি নোথেরিয়ান রিং?
Z[X, 1 /X] রিংটি নোথেরিয়ান কারণ এটি Z[X, Y]/(XY −1) এর আইসোমরফিক।
Z Noetherian কেন?
কিন্তু Z-এ শুধুমাত্র সীমাবদ্ধভাবে অনেক আদর্শ রয়েছে যেগুলোতে I1 রয়েছে যেহেতু তারা লেমা 1.21-এর সসীম রিং Z/(a) এর আদর্শের সাথে মিলে যায়। তাই শৃঙ্খলটি অসীমভাবে দীর্ঘ হতে পারে না, এবং এইভাবে Z হল নোথেরিয়ান।
নোথেরিয়ান ডোমেইন কি?
যেকোন প্রধান আদর্শ বলয়, যেমন পূর্ণসংখ্যা, নোথেরিয়ান হয় যেহেতু প্রতিটি আদর্শ একটি একক উপাদান দ্বারা উত্পন্ন হয়এর মধ্যে রয়েছে প্রধান আদর্শ ডোমেন এবং ইউক্লিডীয় ডোমেন। একটি Dedekind ডোমেইন (যেমন, পূর্ণসংখ্যার রিং) হল একটি Noetherian ডোমেন যেখানে প্রতিটি আদর্শ সর্বাধিক দুটি উপাদান দ্বারা উত্পন্ন হয়৷
আপনি কীভাবে প্রমাণ করবেন একটি আংটি নোথেরিয়ান?
উপাদ্য A রিং R নোথেরিয়ান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি R এর আদর্শের প্রতিটি অ-খালি সেটে একটি সর্বোচ্চ উপাদান থাকে প্রমাণ ⇐=I1 ⊆ I2 ⊆·· হতে দিন R এর আদর্শের একটি আরোহী শৃঙ্খল। পুট S={I1, I2, …}। যদি আদর্শের প্রতিটি অ-খালি সেটে একটি সর্বাধিক উপাদান থাকে তবে S-তে একটি সর্বাধিক উপাদান থাকে, IN বলুন।
